RESUMEN


Un problema frecuente que encontramos los psicólogos es la comparación de las puntuaciones de diferentes test que miden un mismo constructo. Cada test se expresa en función de las puntuaciones asignadas a cada ítem, y dado que estas pueden ser muy diversas, afectara al resultado final en la prueba. Esto hace necesario de un procedimiento que haga que las pruebas obtenidas en dos test diferentes puedan ser comparables directamente. Así, la equiparación es un conjunto de técnicas que nos permitirán hacer comparables las mediciones de dos test con escalas diferentes.

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ARTÍCULO: Equiparación de las puntuaciones de dos o mas test.


Introducción.
 
En este artículo vamos a analizar tres procedimientos de equiparación, que son: igualación de la media, posición ordinal mediante percentiles y transformación lineal de la escala. Para ilustrar los tres procedimientos partiremos del problema 1.
 
Problema 1:
La empresa X, como criterio de selección de personal, ha estado empleando un test de inteligencia que llamaremos test A, pero ahora el nuevo director de recursos humanos considera que es mas adecuado usar el test de inteligencia B, ya que el nuevo test tiene menos ítems y conserva la fiabilidad y validez en valores similares al test A, y por tanto resulta mas rápida su aplicación y menos costosa. Los resultados se muestran en el este archivo de referencia.
 
Los resultados que aparecen en la columna A se refieren a las puntuaciones obtenidas por los miembros de la empresa X en el test A, mientras que las puntuaciones del test B pueden verse en la columna B.
 
Como puede observarse, las puntuaciones de uno y otro test son muy diferentes, el sujeto 1 puntúa en el test A 239 puntos, mientras que en el test B puntúa 120 puntos. También vemos como la media y desviación típica de cada un de los test son muy diferentes, como puede verse en la tabla 1.
 
Tabla 1: Estadísticos descriptivos.
TEST A
TEST B
Media
Media
225,5
114,96
D. Típica
D. Típica
29,12130672
16,3638676
 
Por tanto, ahora el problema que se plantea es como saber si los nuevos aspirantes, evaluados con el test B, tienen una puntuación igual, por encima o por debajo, de los actuales miembros de la empresa que fueron medidos con el test A. Mas concretamente, si en el test A un sujeto puntúa 220, y otro en el test B puntúa 120, ¿cuál de ellos es el mas inteligente?
 
Igualación de medias.
 
Una primera solución (entre otras posibles), que probablemente habrá intuido el lector, es calcular la diferencia de medias 225,5 – 114,96 = 110,54. Ahora solo tenemos que sumar o restar, es decir, si deseamos saber la puntuación en el test A que habría obtenido un sujeto que en el test B puntuó 120, le sumamos a la prueba B la diferencia, en nuestro caso, 120 + 110,54 = 230,54 siendo esta la puntuación que habría obtenido en el test A. Si lo que deseamos saber es la puntuación que habría obtenido en el test B un sujeto que en el test A puntuó 220, le restamos a esta puntuación la diferencia 220 – 110,54 = 109,46. Así vemos pues que el que puntúa 220 puntos en el A, solo puntúa en B 109,46, por tanto el sujeto que puntúa 220 puntos en A es menos inteligente que el que puntúa 120 puntos en B (ya que en B habría puntuado 109,46).
 
A primera vista, esta solución puede parecer buena, pero presenta una serie de inconvenientes, por lo que hoy esta en desuso.  Algunos de los problemas que presenta este método de equiparación es que ignora por completo la variabilidad de ambos conjuntos de datos, es decir, los contempla de igual manera si están más agrupados que están más dispersos.
 
 Tabla 2: Dos muestras con diferente dispersión.
Datos 1
Datos 2
25
20
28
25
24
50
26
9
 
 
MEDIA
MEDIA
25,75
26
D. TÍPICA
D. TÍPICA
1,70782513
17,3397424
 
         La tabla 2 ejemplifica dos muestras con media aproximadamente igual, pero diferente dispersión. En el conjunto de datos 1 la diferencia entre el mayor y el menor de los valores es de 28 – 24 = 4, mientras que en el conjunto de datos 2, la diferencia es de 50 – 9 = 41. Por tanto, el conjunto de datos 2 tiene mayor variabilidad que el conjunto de datos 1. La variabilidad o dispersión se expresa comúnmente mediante dos índices estadístico varianza y desviación típica, donde la varianza es el cuadrado de la desviación típica.
 
         Otro de los problemas esta relacionado con el concepto de distribución, que hace referencia a la forma en que los datos se agrupan, es decir, es posible tener dos muestras con media y desviación típica muy similar, pero es posible que una de ellas agrupe la mayoría de los valores por debajo de la media, mientras que la otra agrupe la mayoría de los datos por encima de la media. La verificación de la simetría de una distribución se puede analizar mediante un coeficiente de asimetría, como el de Pearson, que asume con valor 0 que la distribución es simétrica, con valores por encima de 0 la distribución será asimétrica positiva y negativa cuando los valores estén por debajo de cero. Por supuesto esta no es la única manera de analizar el tipo de distribución, también podríamos hacer una prueba de Kolmogorov-Smirnov para analizar su normalidad. Por tanto, para poder usar este método de equiparación las distribuciones de los datos a equiparar deben se muy similares.
 
Equiparación por posición ordinal mediante percentiles.
 
Otro método de equiparación empleado con frecuencia y sencillo de comprender para profanos en estadística es el percentil. El percentil consiste en establecer el porcentaje de puntuaciones que le quedan por debajo, es decir, si un sujeto puntúa en el percentil 80 significara que supera en inteligencia (en nuestro caso) al 80% de los sujetos. Así, las puntuaciones que ocupen el mismo percentil se consideraran equivalentes. Vea en el archivo de referencia la columna L donde aparece el percentil, la columna M aparece la puntuación de test A que corresponde a ese percentil, y en la columna N aparece la puntuación que corresponde a ese percentil. Por tanto, comparando las puntuaciones que corresponden a un mismo percentil, podemos decir que son equivalentes. Por ejemplo, en el percentil 50 se sitúan las puntuaciones 228 (test A) y 117 (test B), por tanto podemos decir que estas dos puntuaciones son equivalentes. Excel permite el cálculo de percentiles mediante la función PERCENTIL(inicio rango:fin rango;percentil), por ejemplo, PERCENTIL(a1:a100;0,80) calcula el percentil 80 del rango de datos comprendidos entre la celda a1 y la celda a100.
 
         La tabla 3 muestra los percentiles2 25, 50 y 75, también denominados cuartiles por que dividen el conjunto de puntuaciones en 4 partes iguales. En esta tabla podemos ver como las puntuaciones 207,75 del TEST A y 106,75 del TEST B son equivalentes por que ocupan el mismo cuartil.
 
 Tabla 3: Percentiles más comunes, los cuartiles.
Percentil
TEST A
TEST B
0,25
207,75
106,75
0,5
228
117
0,75
241,75
125
 
 
 
 
 
Equiparación mediante la transformación de la escala.
 
         Aunque los percentiles es una forma de ordenación de los sujetos muy usada y fácil de comprender incluso por profanos, probablemente el método de equiparación mas empleado consiste en la transformación de las puntuaciones directas de los test en escalas con una media y una variabilidad concretas, de esta forma, las puntuaciones se pueden comparar de manera directa.
 
         Algunas de las escalas más empleadas son las siguientes:
 
·         T de McCall.-                    M = 50 y DT = 10
·         Wechsler.-                       M = 100 y DT = 15
·         Standford – Binet.-            M = 100 y DT = 16
·         MMPI.-                            M = 50 y DT = 10
 
Donde M se refiere a la media aritmética y DT se refiere a la desviación típica.
 
¿Cómo transformar las puntuaciones directas a una escala concreta?
 
Para ejemplificar el proceso de equiparación vamos a trasformar las puntuaciones de nuestro test A y B a la escala Wechsler.
 
Paso 1.- Lo primero que haremos será tipificar las puntuaciones obtenidas por los sujetos en ambos test. Para ello a cada puntuación le restamos su media, y el resultado lo dividimos por su desviación típica.
 
Los resultados tipificados los podemos ver en las columnas D (test A) y E (test B). Es este punto ya podemos hacer comparaciones, ya que las nuevas muestras obtenidas tienen como media 0 y desviación típica 1.
 
Así podemos decir que el sujeto 1 que puntúa 0,4635 en el test A, es mas inteligente que el sujeto 2 que puntúa -0,2419 en el test B por la sencilla razón de que 0,4635 es mayor que -0,2419.
 
Ya tenemos los datos originales, es decir, las puntuaciones directas, transformadas en puntuaciones típicas, pero estas tienen básicamente dos inconvenientes, pueden tener valores positivos y negativos, y lo peor quizás, siempre (o casi siempre) presentan muchos decimales.
 
Paso 2.- Para evitar el problema de los signos negativos y de los decimales, lo que hacemos en convertir las muestras tipificadas en escala Wechsler, que tiene una media de 100 y una desviación típica de 15.
 
Para hacer esto, cada puntuación típica la multiplicamos por la desviación típica (15 en nuestro caso) que deseamos que tenga la nueva muestra, y al resultado le sumamos la media (100 en nuestro caso) que deseamos que tenga la muestra.
 
Los resultados pueden verse en las columnas I y J, ahora ya tenemos un sencillo criterio de comparación de los sujetos, los que no alcanzan la media y los que la superan. Pero además, si nuestro conjunto de datos se distribuyen normalmente1 también podemos saber que un sujeto que puntúa 115 puntos (una desviación típica por encima de la media, ya que la desviación típica vale 15) supera al 84% de los sujetos, si puntúa 130 (dos desviaciones típicas) supera al 98% de los sujetos, que según los criterios de Wechsler, permite considerar a un sujeto como superdotado.
 
Tabla 4: Criterios Wechsler de clasificación en inteligencia según escala de media 100 y desviación típica 15.
Puntuación
Clasificación
130 o mas
Muy superior
120 a 129
Superior
110 a 119
Normal brillante
90 a 109
Normal
80 a 89
Subnormal
70 a 79
Borderline o limitrofe
50 a 69
Deficiente mental superficial
49 a 30
Deficiente mental medio
29 o menos
Deficiente mental profundo
 
Calculo de la puntuación equivalente mediante ecuación de regresión.
 
Dado que un test tiene un determinado número de ítems, la puntuación máxima y mínima estará en función de su número de ítems y también del valor que se le conceda a cada opción de respuesta. Por ejemplo, en un test de inteligencia en que solo es posible acertar, fallar o respuesta en blanco, podemos asignar a las aciertos un 1, un -0,3 a los fallos, y un cero a las respuestas en blanco. Pero de la misma manera también podemos puntuar con 10 los aciertos, con -3 los fallos, y con cero las respuestas en blanco. Por tanto, una misma prueba puede ofrecer puntuaciones diferentes según el criterio que se escoja para puntuar cada una de las opciones de respuesta.
 
Así pues, en el caso primero si el test tuviera 50 ítems, la puntuación máxima seria 50 * 1 = 50 puntos, y la mínima 50 * -0,3 = -15. Pero en el segundo caso, también con 50 ítems, tendríamos una puntuación máxima de 50 * 10 = 500 puntos y una mínima de 50 * -3 = -150 puntos. Esto hace que una misma puntuación, (40 por ejemplo) en la primera escala sea un valor muy alto, mientras que en la segunda, 40 es una puntuación muy baja. De aquí la necesidad de equiparar las puntuaciones a una escala común, y así poderlas comparar de manera directa.
 
Así lograr una formula que nos permita calcular una puntuación a partir de la otra nos facilitaría mucho las cosas. Dado que lo que se ha hecho para cambiar de la escala de puntuaciones directas en escala Wechsler es un tipo de transformación conocida como transformación lineal, es decir, multiplicar (o dividir) y sumar (o restar) otro valor, las relaciones entre las variables se mantienen constantes.
 
En la fila 111 del archivo de referencia podemos ver como la correlación entre las puntuaciones obtenidas por los sujetos en una y otra aplicación del test mantienen exactamente el mismo valor 0,955695036 (fiabilidad de por el método de las formas paralelas, ya que un mismo grupo de sujetos ha realizado cada uno de los dos test que miden el mismo constructo, la inteligencia) en cada una de las tres escalas.
 
Que esta correlación se mantenga constante nos permitirá hacer una estimación puntual mediante una ecuación de regresión. De esta manera para el test A, calcularemos la ecuación de regresión entre la puntuación directa en el test y la puntuación Wechsler correspondiente al mismo test, es decir, columnas A e I. igualmente, para el test B calcularemos la ecuación de regresión entre las columnas B y J. Los resultados se expresan en la tabla 4.
 
Tabla 4: correlación, pendiente y ordenada para las puntuaciones directas y Wechsler.
TEST A
TEST B
Correlación
Correlación
1
1
Pendiente
Pendiente
0,51508678
0,91665372
Ordenada
Ordenada
-16,1520681
-5,37851112
 
La ecuación de regresión tiene la forma Y = aX + b, donde:
 
a - es la pendiente,
b - es la ordenada,
X - es la puntuación directa
Y - es la puntuación en escala Wechsler
 
Por tanto, en el caso del test A su ecuación de regresión para la transformación a escala Wechsler será:
 
Y = 0,51508678X -16,1520681)
 
Así pues si un sujeto obtiene una puntuación directa de 227 puntos en el test A, la transformación a escala Wechsler seria la siguiente:
 
Y = 0,51508678 * 227 - 16,1520681 = 116,9246991 - 16,1520681 = 100,77263
 
En el caso del test B la ecuación de regresión para la transformación a escala Wechsler será:
 
Y = 0,91665372X - 5,37851112
 
En el caso de un sujeto que ha obtenido una puntuación directa de 112 puntos en el test B, la transformación a escala Wechsler seria la siguiente:
 
Y = 0,91665372 * 112 - 5,37851112 = 102,6652166 - 5,37851112 = 97,286705
 
Si atendemos a las puntuaciones obtenidas por el sujeto 96, comprobaremos que los resultados hallados por este método, y el valor de la transformación calculado mediante tipificación es idéntico.
 
Podemos ver también como en el test A la puntuación Wechsler equiparada es de 100,77263, mientras que en el test B la puntuación Wechsler equiparada toma el valor de 97,286705, es decir, en la transformación del test A el sujeto supera por muy poco la media, mientras que en el segundo, se queda un poco bajo la media con una puntuación de 97,286705. Esta diferencia esta originada por el hecho de que la fiabilidad de la prueba no es perfecta (0,955695036) ya que todo proceso de medida se ve afectado por un componente de error aleatorio y otro componente de error sistemático. Esto hará que las diferencias sean mas pronunciadas en las transformaciones cuanto mas baja es la fiabilidad de la prueba.
 
En el archivo de referencia pueden verse todo los cálculos (con sus formulas) realizados mediante el programa de calculo Excel.
 
En la fila 123 de dicho archivo se ejecuta el cálculo de transformación de las puntuaciones según la ecuación de regresión. Introduciendo en las celdas A123 y B123 la puntuación directa del test A y B respectivamente, aparece la puntuación transformada a la escala Wechsler en las celdas I 123 y J 123 respectivamente.
 
Conclusión.
 
Con este artículo se ha pretendido presentar de una manera clara el proceso de equiparación, que es y como se lleva a cabo. De los tres métodos comentados, igualación de medias, percentiles y transformación de escalas, vemos como el primero tiene un procedimiento de cálculo muy sencillo. El segundo, es un poco mas complicado, no reviste complicación su calculo usando una calculadora, aunque si es posible, mejor usar un software de análisis estadístico como Excel. El tercero, transformación de las escalas, resultaría enormemente laborioso su realización con una calculadora, por lo que solo se recomienda su realización con software de cálculo como Excel o SPSS.
 
         Como ultimo comentario, indicar que en la estadística real, la estadística que se usa para resolver problemas reales, opera de manera general con conjuntos de datos amplios. Tamaños muestrales de 50 75 o 100, que no son tamaños elevados, resultan enormemente pesados para realizar el calculo con una calculadora. La simple necesidad de calcular la media o la desviación típica, hace que sea posible la inclusión de datos erróneos, y por consiguiente, todo el cálculo posterior arrastrará ese error. El estadístico pues, debe tener capacidad para el uso de los programas estadísticos, fundamentalmente por que siempre tenemos la capacidad de revisar los datos introducidos o bien por que los datos pueden ser exportados, copiados pegados entre diferentes programas estadísticos.
 
(1)    Distribución normal o campana de Gauss con media cero y desviación típica uno N (0,1). (Uso de la tabla de la distribución normal). Si queremos saber que probabilidad hay de tener una puntuación menor o igual a 1,53 (por ejemplo), dado que es positiva, usamos la mitad positiva de la tabla o mitad derecha. Buscamos en la columna de la izquierda de la tabla el valor 1,5, y en la fila superior el 3 y vemos que la intersección de esta columna con esta fila esta la probabilidad 0,9370 o lo que es lo mismo, un sujeto con esta puntuación supera al 93,70 % de los sujetos. Si quisiéramos saber cual es la probabilidad de obtener una puntuación menor o igual que -1,53, esta vez tendríamos que buscar en la mitad izquierda, dado que ahora tenemos un valor negativo. De igual manera que para la positiva buscamos en la columna de la izquierda el valor 1,5, y en la fila superior el valor 3 y en el punto de intersección se encuentra la probabilidad 0,063. Podíamos haber llegado a esta misma solución con una sola mitad de la tabla, dado que la distribución normal es simétrica. Por tanto, dado que la probabilidad de obtener un valor menor o igual que 1,53 es 0,9370, la probabilidad de obtener un valor mayor que 1,53 es 1 – 0,9370 = 0,063. Y como ya hemos visto 0,063 es la probabilidad que nos da la tabla de obtener un valor menor o igual que -1,53.
 
P (Z ≤ z)
P (Z ≤ -1,53) = 0,063
P (Z ≤ 1,53) = 0,9370
P (Z > 1,53) = 1 – 0,9370 = 0,063
 
También podemos conocer la probabilidad de obtener una determinada puntuación o menor mediante la función de Excel DISTR.NORM.ESTAND(valor) donde valor será la puntuación típica cuya probabilidad deseamos conocer.
 
(2)    La puntuación percentil se puede expresar sobre 100 puntos, en cuyo caso hablaremos de percentil 5, 45, 77, etc. Si la escala percentil se expresa sobre 1 punto, el percentil 25 será el 0,25 o el 69 será el 0,69.

 


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